【学习笔记】数学分析（1）速但不通

争取避免一个学期实现绩点自由。

Chapter 1. 实数与数列

实数

Dedekind 分割。

实数的确界原理 & 连续性原理

• 确界原理：$X\subseteq\mathbb{R}$ 有上界 $\to X$ 有上确界。
• 实数的连续性原理：Dedekind 分割对应到唯一的实数。

数列及收敛性

$\{a_n\}$ 趋于 $\infty$ ：称作发散。

Weierstrass 单调收敛定理

单调有界数列一定收敛。

Cauchy-Cantor 闭区间套定理

长度收敛到 $0$ 的闭区间套，唯一确定一个实数。

自然对数的底 $e$

是极限：

\lim_{n\to +\infty}\Big(1+\dfrac{1}{n}\Big)^n\

Cauchy 收敛定理

懂的都懂。

Heine-Borel 有限覆盖定理

任何闭区间的开覆盖都有有限子覆盖。

紧致集 / 紧集

任何开覆盖都有有限子覆盖的集合。

Bolzano - Weierstrass 定理

任何有界的数列都有收敛的子列。
（反证，用有限覆盖定理说明存在极限点）

上极限 & 下极限

用于证明数列收敛的有力方法。

Stolz 定理

离散的 L’Hospital。

$\frac{*}{\infty}$ 型

• $\{b_n\}$ 严格单调递增，$b_n>0$；
• $\lim_{n\to +\infty} b_n=\infty$；
• $\lim_{n\to +\infty} \dfrac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}}=A$
  则 $\lim_{n\to+\infty} \dfrac{a_n}{b_n}=A$，其中 $A$ 可以是 $\pm\infty$。

$\frac{0}{0}$ 型

$\{b_n\}$ 严格单调，$\{a_n\},\{b_n\}$ 都趋于 $0$。

一个引理：Abel 变换（有限微积分）

设 $s_1,\cdots,s_n,t_1,\cdots,t_n$，令 $S_k=s_1+\cdots+s_k$，则：

$$\sum_{k=1}^n s_kt_k=S_nt_n-\sum_{k=1}^{n-1} S_k(t_{k+1}-t_k)$$

Chapter 2 函数的连续性

Schroder - Bernstein 定理

对于集合 $A,B$，若 $\operatorname{card} A\le \operatorname{card} B$ 且 $\operatorname{card} A\ge \operatorname{card} B$ ，则 $\operatorname{card} A=\operatorname{card} B$。

证明感觉很抽象，先鸽了。

函数的极限

Heine 定理

若 $f$ 为定义在 $X$ 上的函数，$a$ 为 $X$ 的极限点，则 $\lim_{x\to a}f(x)=A$ 的充分必要条件是：

$$\forall\{x_n\}\subset X\backslash\{a\} \land \lim_{n\to \infty}x_n=a\Rightarrow\lim_{n\to\infty}f(x_n)=A$$

左右极限

从两边趋近。

一个重要极限

$$\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$$

用放缩：$\sin x<x<\tan x$，即 $\cos x< \dfrac{\sin x}{x}< 1$，拼挤定理。

无穷小量 & 无穷大量

若：

$$\lim_{x\to x_0} \dfrac{f(x)}{g(x)}=0$$

称 $x\to x_0$ 时 $f(x)$ 是相较 $g(x)$ 的无穷小量，记作 $f(x)=o(g(x))$。

更高阶的量

若：

$$\begin{aligned} \lim_{x\to x_0} \dfrac{f(x)}{g(x)}=0\\ \lim_{x\to x_0} g(x)=0 \end{aligned}$$

称 $f(x)$ 为 $x\to x_0$ 时比 $g(x)$ 更高阶的无穷小。
同理可以定义更高阶的无穷大。

同阶无穷小量（无穷大量）

$x\to x_0$ 时在 $x_0$ 附近存在有界函数 $\beta(x)$ 使 $f(x)=\beta(x)g(x)$，则 $f(x)=O(g(x))$；
若同时 $g(x)=O(f(x))$，则称 $f(x),g(x)$ 在 $x\to x_0$ 是同阶的。

注：若 $f(x)=o(g(x))$，则必然有 $f(x)=O(g(x))$。这里的 “$=$” 应当视作 “$\in$”

$x\to x_0$ 时，若 $f(x)$ 与 $|x-x_0|^\alpha(\alpha>0)$ 同阶，称之为 $\alpha$ 阶无穷小；同理定义 $\alpha$ 阶无穷大。

渐近等价

$x\to x_0$ 时在 $x_0$ 附近有函数 $\gamma(x)$ 使 $f(x)=\gamma(x)g(x)$ 且：

$$\lim_{x\to x_0} \gamma(x)=1$$

则称 $x\to x_0$ 时，$f(x)$ 和 $g(x)$ 是渐近等价的。
渐近等价的函数可以替换。

连续函数

孤立点是连续点。

间断点

• 第一类间断点：可去间断点（左极限 $=$ 右极限）
• 第一类间断点：跳跃间断点（左极限 $\ne$ 右极限）
• 第二类间断点：左极限、右极限至少有一个不存在

单调函数的间断点的性质

设 $f$ 是定义在 $X$ 上的单调函数

• $f$ 的间断点只能是跳跃间断点
• $f$ 的间断点只有至多可数个（构造“间断点 $y$“ 到” $I_y=(f(y-),f(y+))$ 中的有理数“的单射）

连续函数的局部性质

若 $f$ 是定义在 $X$ 上的函数，在 $x_0$ 点连续，则

• $\exists \delta>0$，$f(x)$ 在 $U_X(x_0,\delta)$ 有界（加上有限覆盖可知闭区间上的连续函数是有界的）
• 若 $f(x_0)>0$，则 $\exists \delta>0$ 使得 $f(x)$ 在 $U_X(x_0,\delta)$ 都 $>0$。

连续函数的整体性质

Bolzano 介值定理

设 $f\in C([a,b])$，则：

• （零值定理）若 $f(a)f(b)\le 0$，则 $\exists c\in[a,b]$ 使得 $f(c)=0$；
• （介值定理）若 $f(a)\ne f(b)$，任意 $y$ 在两者之间，都存在 $f(c)=y$。
  用 Cauchy-Cantor 闭区间套 + 二分法即可。

单调连续函数的性质

设 $f\in C([a,b])$，则 $f$ 为单射 $\Leftrightarrow$ $f$ 为严格单调函数。

Weierstrass 最值定理

若 $f\in C([a,b])$，则存在 $x_1,x_2\in[a,b]$ 使得：

$$f(x_1)=\sup_{x\in[a,b]}f(x), f(x_2)=\inf_{x\in[a,b]} f(x)$$

于是可以写作 $\max,\min$。

证明：首先函数有界，设上确界是 $M$，然后反证：构造函数 $g(x)=\dfrac{1}{M-f(x)}$ ，从 $g(x)$ 有界推出矛盾。
注：紧致集上的连续函数也有最值定理

一致连续性

连续性描述中 $\delta$ 的选取只和 $\epsilon$ 相关，和 $x_0$ 无关。

如果函数不一致连续，则：

$$\exists \epsilon_0>0, \forall n, \exists s_n,t_n\in X,|s_n-t_n|<\dfrac{1}{n},|f(s_n)-f(t_n)|\ge \epsilon_0$$

给出构造即可证明不一致连续。
一致连续的证明，往往需要导出 $|f(x)-f(y)|\le k|x-y|$ 之类的形式。

Heine-Cantor 定理

设 $f\in C([a,b])$，则 $f$ 在 $[a,b]$ 上一致连续。

取出所有 $U_X(x_0,\delta(\epsilon, x_0))$，Heine-Borel 有限覆盖定理后即可取 $\delta$ 的 $\min$。
一些细节上的问题可能要求我们在 $\delta$ 前面加 $1\over 2$。

振幅

$$\omega(f;x_0,\delta)=\sup_{x_1,x_2\in U_X(x_0,\delta)} |f(x_1)-f(x_2)|$$

函数在 $x_0$ 处连续，当且仅当：

$$\omega(f;x_0)=\lim_{\delta\to 0} \omega(f;x_0,\delta)=0$$

一个定理

$f\in C([a,b]),\forall x\in[a,b],M(x)=\max_{t\in [a,x]} f(t),m(x)=\min_{t\in [a,x]} f(t)$，则 $M(x),m(x)\in C([a,b])$。

证明：振幅有偏序关系，显然得证。

函数的上下极限

一个定理

若 y>\overline{\lim_\limits{x\to x_0}} f(x)，则 $\exists \delta>0$ 有 $\forall x\in \mathring{U}_X(x_0,\delta, f(x)<y$；
若 y<\overline{\lim_\limits{x\to x_0}} f(x)，则 $\forall \delta>0,\exists x\in \mathring{U}_X(x_0,\delta)$ 有 $f(x)>y$。

另一个定理

$$\overline{\lim_{x\to x_0}} f(x)=\lim_{\delta\to 0^+}\sup_{x\in \mathring{U}_X(x_0,\delta)} f(x)$$

Chapter 3. 函数的导数

函数导数的定义

设 $f:X\to \mathbb{R}$ ，$x_0$ 是 $X$ 的极限点，若存在 $A(x_0)$ 使得：

$$f(x_0+h)-f(x_0)=A(x_0)h+\alpha(x,h),h\to 0$$

其中 $x_0+h\in X,\alpha(x,h)=o(h)$，则称 $f$ 在 $x_0$ 是可微的。

称线性映射 $df(x):\mathbb{R}\to \mathbb{R},h\mapsto A(x_0)h$，为 $f$ 在 $x_0$ 点的微分，记作 $df(x_0)$。
于是 $df(x_0)(h)=A(x_0)h$，$A(x_0)$ 称为 $f$ 在 $x_0$ 处的导数。

特别地，取 $f(x)=x,dx:\mathbb{R}\to \mathbb{R},h\mapsto dx(h)=h$。
对于一般的函数 $f$，

$$f'(x)=\dfrac{df(x)(h)}{dx(h)}$$

与$h$ 无关，所以记作：

$$f'(x)=\dfrac{df(x)}{dx}$$

称为微商。
记 $C^1(X)$ 是 $X$ 上可微函数的整体。

类似地，可以定义函数的左右导数，记作 $f'_+(x_0)$ 和 $f'_-(x_0)$。

导数的运算法则

设 $f:X\to \mathbb{R}$，在 $x_0$ 处可导，则 $f$ 在 $x_0$ 处连续：

$$\lim_{x\to x_0} (f(x)-f(x_0))=\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}(x-x_0)$$

逆函数的求导（反函数）

$$f^{-1}(f(x))=x$$

$$\begin{aligned} 1 =x'=(f^{-1})'(f(x))\times f'(x)\\ \Rightarrow (f^{-1})'(f(x))=\dfrac{1}{f'(x)} \end{aligned}$$

例

求 $(\arcsin x)'$。有：$\arcsin'(\sin x)=\dfrac{1}{\cos x}$。取 $y=\sin x$，则：

$$\arcsin'(y)=\dfrac{1}{\sqrt{1-y^2}}$$

高阶导数

Lebniz 定理

设 $f,g\in C^n(X)$，则：

$$(fg)^{(n)}(x)=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(k)}(x)g^{(n-k)}(x)$$

数学归纳法。

微分中值定理

Fermat 定理

设 $f$ 在 $(a,b)$ 可微，$x_0\in (a,b)$ 为极值点，则 $f(x_0)=0$。

利用可导，得到导数 $\ge 0, \le 0$ 即可。

Rolle 中值定理

设 $f\in C([a,b])\cap C^1((a,b))$ 且 $f(a)=f(b)$，则：

$$\exists \xi\in (a,b),f'(\xi)=0$$

闭区间上的连续函数一定取到最值，且是常值函数 / 不在端点取到最值，Fermat 定理得证。

Lagrange 中值定理

设 $f\in C([a,b])\cap C^1((a,b))$，则：

$$\exists \xi\in(a,b),f'(\xi)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

对函数做个变换，然后 Rolle 中值定理就行。

例

$f\in C^1((a,b)),|f'(x)|\le M$，则 $f$ 在 $(a,b)$ 一致连续。
太简单了。

Cauchy 中值定理

设 $f,g\in C([a,b])\cap C^1((a,b))$，则：

$$\exists\xi\in(a,b),f'(\xi)(g(b)-g(a))=g'(\xi)(f(b)-f(a))$$

如果 $g'(x)\ne 0$，就可以除过去：

$$\dfrac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$$

Cauchy 中值定理是 Rolle 中值定理的重新参数化。

Peano 中值定理

设 $f,g,h\in C([a,b])\cap C^1((a,b))$，则：

$$\exists\xi\in(a,b), \begin{vmatrix} f'(\xi) & g'(\xi) & h'(\xi)\\ f(a) & g(a) & h(a)\\ f(b) & g(b) & h(b) \end{vmatrix}=0$$

我的评价是：炫技哥。

Darboux 定理

$f$ 在 $(a,b)$ 上可微，则 $f'$ 在 $(a,b)$ 上具有介值性质。

导数的一些应用

一个不等式

• $\alpha\in(0,1),\ (1+x)^\alpha< 1+\alpha x$；
• $a\in (1,+\infty),\ (1+x)^\alpha>1+\alpha x$。

Young 不等式

对 $a,b>0,p,q\ne 0,1,\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1$ 且 $p>1$，有：

$$a^{1\over p}\times b^{1\over q}\le {a \over p}+{b\over q}$$

证明：即要证：

$$t^{1\over p}\le \dfrac{t}{p}+\dfrac{1}{q}$$

根据上面的不等式：

$$\begin{aligned} (1+t-1)^{1\over p}&\le 1+\dfrac{t-1}{p}\\ &=\dfrac{t}{p}+1-\dfrac{1}{p}\\ &=\dfrac{t}{p}+\dfrac{1}{q} \end{aligned}$$

$\square$。

Holder 不等式

对 $a_i\ge 0, b_0\ge 0, p,q>0$ 且 $\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1,p>1$，有：

$$\sum a_ib_i\le \Big(\sum a_i^p\Big)^{1\over p}\Big(\sum b_i^q\Big)^{1\over q}$$

证明：令：

$$A=\sum a_i^p,B=\sum b_i^q$$

由 Young 不等式：

$$\dfrac{a_ib_i}{A^{1\over p}B^{1\over q}}=\Big(\dfrac{a_i^p}{A}\Big)^{1\over p}\Big(\dfrac{b_i^q}{B}\Big)^{1\over q}\le \dfrac{a_i^p}{pA}+\dfrac{b_i^q}{qB}$$

求和：

$$\sum a_ib_i\le A^{1\over p}B^{1\over q}\left(\dfrac{\sum a_i^p}{pA}+\dfrac{\sum b_i^q}{qB}\right)=A^{1\over p}B^{1\over q}\left(\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}\right)=A^{1\over p}B^{1\over q}$$

$\square$。

Minkowski 不等式

对 $a_i\ge 0, b_0\ge 0,p>1$，有：

$$\Big(\sum(a_i+b_i)^p\Big)^{1\over p}\le \Big(\sum a_i^p\Big)^{1\over p}+\Big(\sum b_i^p\Big)^{1\over p}$$

证明：取 $q$ 使得 $\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1$。

$$\begin{aligned} \sum (a_i+b_i)^p &=\sum (a_i+b_i)^{p-1}a_i+\sum(a_i+b_i)^{p-1}b_i\\ &\overset{\text{Holder}}{\le} \Big(\sum a_i^p\Big)^{1\over p}\Big(\sum (a_i+b_i)^{(p-1)q}\Big)^{1\over q}+\Big(\sum b_i^p\Big)^{1\over p}\Big(\sum (a_i+b_i)^{(p-1)q}\Big)^{1\over q}\\ &\overset{(p-1)q=p}{=}\Big(\sum(a_i+b_i)^p\Big)^{1\over q}\Big(\sum a_i^p+\sum b_i^p\Big)^{1\over p} \end{aligned}$$

整理一下即可得证。当且仅当 $\forall i, a_i=\lambda b_i$ 取等。

凸函数

定义

设 $f:X\subset \mathbb{R}\to\mathbb{R}$，若 $\forall x_1,x_2\in X,\lambda\in(0,1)$ 有：

$$f(\lambda x_1+(1-\lambda x_2))\le \lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2)$$

则称 $f$ 为 $X$ 上的凸函数。同理可以定义严格凸函数。

凸函数的性质

一个定理

设 $f:(a,b)\to\mathbb{R}$ 是凸函数，则 $f\in C((a,b))$。
找两条直线夹一下就行。

注：$[a,b)$ 上凸函数未必连续（端点上可以不连续）

一个定理

$f:(a,b)\to \mathbb{R}$ 是凸函数，则任意一点左右导数都存在，且存在偏序关系。

可微凸函数的性质

懂得都懂。
记得别在不可微函数上求导就行了。

L‘Hospital 法则

懂得都懂。

Chapter 4. Taylor 公式

带 Peano 余项的 Taylor 公式

$f:[a,b]$ 上的函数，在 $x_0\in[a,b]$ 有 $n$ 阶导数，$x\to x_0$ 时有：

$$f(x)=\sum_{k=0}^n \dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+o(x^n)$$

注：Peano 余项的 Taylor 在 $x_0$ “附近”成立。

Bernoulli 数

想求 $S_m(n)=1^m+\cdots+(n-1)^m$，有：

$$e^{kx}=\sum_{m=0}^N \dfrac{k^m}{m!} x^m+o(x^N)$$

且：

$$\begin{aligned} &1+e^x+e^{2x}+\cdots+e^{(n-1)x}\\ =&1+\sum_{m=0}^N\Big(\dfrac{1^m}{m!}+\dfrac{2^m}{m!}+\cdots+\dfrac{(n-1)^m}{m!}\Big) + o(x^N)\\ =&1+\sum_{m=0}^N \dfrac{S_m(n)}{m!}x^m+o(x^N)\\ \end{aligned}$$

另一方面：

$$1+e^x+\cdots+e^{(n-1)x}=\dfrac{e^{nx}-1}{x}\cdot\dfrac{x}{e^x-1}$$

设：

$$f(x)=\dfrac{x}{e^x-1}=\sum_{x=0}^r \dfrac{B_k}{k!}x^k+o(x^r)$$

则 $(e^x-1)f(x)=1$。可以得到递推公式：

$$B_m=-\dfrac{1}{m+1}\sum_{k=0}^{m-1}\binom{m+1}{k}B_k$$

称 $B_n$ 为 Bernoulli 数。值得一提的是，$B_{2k+1}=0,k=1,2,\cdots$。

带有 Lagrange 余项和 Cauchy 余项的 Taylor 展开

设 $f:[x_0,x]\to\mathbb{R},f\in C^n([x_0,x])$，在 $(x_0,x)$ 有 $n+1$ 阶导数，则：

• $f$ 具有 Lagrange 余项的 Taylor 展开：

$$f(x)=\sum_{k=0}^n \dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$$

• $f$ 具有 Cauchy 余项的 Taylor 展开：

$$f(x)=\sum_{k=0}^n \dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{\color{red}{n!}}(x-\xi)^n(x-x_0)$$

其中 $\xi\in(x_0,x)$。
带有 Lagrange 和 Cauchy 余项的 Taylor 展开“是整体的”。

证明 (i)：

考虑函数：

$$g(x)=f(x)-\displaystyle\sum_{k=0}^n \dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k$$

于是 $g(x_0)=0$。由 Cauchy 中值定理：

$$\begin{aligned} \dfrac{f(x)-\displaystyle\sum_{k=0}^n \dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k}{(x-x_0)^{n+1}}&=\dfrac{f'(\xi_1)-\displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{f^{(k)}(x_0)}{(k-1)!}(\xi_1-x_0)^{k-1}}{(n+1)(\xi_1-x_0)^{n}}\\ &=\dfrac{f^{(n)}(\xi_n)-f^{(x_0)}(\xi_n-x_0)}{(n+1)!(\xi_n-x_0)}\\ &=\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!},\ \square \end{aligned}$$

证明 (ii)：
写牛魔。

Taylor 级数

$$\sum_{n=0}^\infty \dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$$

函数的 Taylor 级数未必收敛到函数自身：$f(x)=\begin{cases}e^{-{1\over x^2}}, & x\ne 0\\ 0, &x=0\end{cases}$。

• Taylor 多项式是 $f$ 在 $x_0$ 点的最佳逼近。

Chapter 5. 求导的逆运算

几个基本函数的不定积分

$$\int{0} dx=C$$

$$\int{x^\alpha}dx=\begin{cases}\dfrac{1}{\alpha+1}x^{\alpha+1}+C, &\alpha\ne-1\\ \ln x+C,&\alpha=-1\end{cases}$$

$$\int{e^x}dx=e^x+C$$

$$\int{\sin x}dx=-\cos x+C,\int{\cos x}dx=\sin x+C$$

$$\int \dfrac{dx}{1+x^2}=\arctan x+C,\int\dfrac{dx}{a^2+x^2}=\dfrac{1}{a}\arctan\dfrac{x}{a}+C$$

$$\int\dfrac{dx}{\cos^2x}=\tan x+C$$

$$\int\dfrac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C,\int\dfrac{-dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arccos x+C$$

分部积分与换元公式

懂得都懂。

注：连续函数有原函数，反过来不一定对：

$$F(x)=\begin{cases}x^2\sin\dfrac{1}{x}, &x\ne 0\\0,&x=0\end{cases}, f(x)=\begin{cases}2x\sin\dfrac{1}{x}-\cos\dfrac{1}{x},&x\ne0\\0,&x=0\end{cases}$$

$f(x)$ 在 $x=0$ 处不连续。

有理函数的积分

你只要知道能分解就行了【流汗黄豆】

一个帅气的因式分解：

$$x^4+1=(x^2+\sqrt 2x+1)(x^2-\sqrt2x+1)$$

可化为有理函数

就是教你三角换元，又不直说（

Chapter 6. 函数的积分（定积分）

定义

设 $f:[a,b]\to\mathbb{R},I\in\mathbb{R}$，若 $\forall \epsilon>0,\exists\delta>0$ 使得任意 $(P,\xi)$ 有 $||P||<\delta$，都有：

$$\Big|\sum_{i=1}^nf(\xi_i)(x_i-x_{i-1})-I\Big|<\epsilon$$

就称 $f$ 在 $[a,b]$ 上 Riemann 可积。
证明的时候一般先取一些特定的标记点，然后再证标记点无所谓。

可积函数的性质

$[a,b]$ 上可积函数的全体记作 $\mathcal{R}[a,b]$。

Lebesgue 定理

$f\in\mathcal{R}[a,b]\Leftrightarrow f$ 在 $[a,b]$ 几乎处处可积（间断点是零测集）

Newton-Leibniz 公式

$f\in\mathcal{R}[a,b]$ 且存在 $[a,b]$ 连续 $(a,b)$ 可微的函数 $F(x)$ 使得 $F'(x)=f(x)$，则：

$$\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)=F(x)\bigg|_a^b$$

Lagrange 中值定理知道 $F(b)-F(a)=f(\xi)(b-a)$，和 Riemann 和的形式一样。

可积函数的性质

有界性

懂得都懂。

线性性

懂得都懂。

区间可加性

懂得都懂。

绝对可积性

若 $f\in\mathcal{R}[a,b]$ 则 $|f|\in\mathcal{R}[a,b]$，且

$$\int_a^bf(x)dx\le \int_a^b|f(x)|dx$$

保序性

懂得都懂。

积分第一中值定理

设 $f\in C([a,b])$，则 $\exists\xi\in[a,b]$ 有：

$$\int_a^b f(x)dx=f(\xi)(b-a)$$

证明：$f$ 在 $[a,b]$ 上连续，由 Weierstrass 最值定理，可知其取到 $\min,\max$。再由介值定理得证。

带权的积分中值定理

设 $f\in C([a,b]),g\in\mathcal{R}[a,b]$ 且 $g$ 在 $[a,b]$ 上不变号，则 $\exists\xi\in[a,b]$，有：

$$\int_a^bf(x)g(x)dx=f(\xi)\int_a^b g(x)dx$$

证明：类似的，用 $f$ 的上的最值定理 + 介值定理得证。

积分第二中值定理

设 $f,g\in\mathcal{R}[a,b]$，$g$ 在 $[a,b]$ 上单调，则 $\exists \xi\in[a,b]$，有：

$$\int_a^b f(x)g(x)dx=g(a)\int_a^\xi f(x)dx+g(b)\int_\xi^b f(x)dx$$

证明：下面有更详细的证明，第一步利用了 $F(x)=\displaystyle\int_a^x f(t)dt$ 的连续性 + 有界性。

微积分基本定理

一个定理

$f\in\mathcal{R}[a,b]$，定义变上限积分：

$$F(x)=\int_a^x f(t)dt$$

• 则 $F(x)\in C[a,b]$。

证明：由 $f\in\mathcal{R}[a,b]$ 知 $\exists M>0$ 使得 $|f|<M$，则：

$$\begin{aligned} F(x_0+h)-F(x_0)&=\int_{x_0}^{x_0+h}f(x)dt\\ &\le Mh\to 0\ (h\to 0) \end{aligned}$$

$\square$。

• 若 $f$ 在 $x_0$ 处连续，则 $F(x)$ 在 $x_0$ 处可导，且 $F'(x_0)=f(x_0)$。

证明：取一个 $x_0$ 的邻域，$|f(t)-f(x_0)|<\epsilon$，从而：

$$-\epsilon h\le\int_{x_0}^{x_0+h}(f(t)-f(x_0))dt\le\epsilon h$$

也就是：

$$\Bigg|\dfrac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}-f(x_0)\Bigg|<\epsilon$$

$\square$。

微积分基本定理（NL）

设 $f\in C([a,b])$，则 $f$ 在 $[a,b]$ 上有原函数：

$$F(x)=\int_a^x f(t)dt$$

且 $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_a^x f(t)dt=f(x)$。

分部积分和换元公式

积分型余项的 Taylor 公式

$$f(x)=\sum_{k=0}^n \dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+\dfrac{1}{n!}\int_a^xf^{(n+1)}(t)(x-t)^ndt$$

证明：

$$\begin{aligned} f(x)&=f(a)+\int_a^x f'(t)dt\\ &=f(a)+\int_a^x f'(t)d(t-x)\\ &=f(a)+(t-x)f'(t)\mid_a^x+\int_a^x(t-x)f''(t)dt\\ &=f(a)+(x-a)f'(a)+\cdots \end{aligned}$$

不断分部积分就行。

一个结论

$$I_n=\int_0^{\pi\over 2} \cos^n xdx=\begin{cases}\dfrac{(2m)!!}{(2m+1)!!}, &n=2m+1\\\dfrac{\pi}{2}\dfrac{(2m-1)!!}{(2m)!!}, &n=2m\end{cases}$$

分部积分之后递推就行。

可积性理论

可积的充分条件

设 $f$ 为 $[a,b]$ 的有界函数，$\forall \epsilon>0,\exists\delta>0$ 有对任意 $[a,b]$ 的带标记点的分割 $(P,\xi)$ 满足 $||P||<\delta$ 都有：

$$\sum_{i=1}^n\omega(f;\Delta_i)\Delta x_i<\epsilon$$

则 $f\in\mathcal{R}[a,b]$。

证明：用 Cauchy 判别法来证。只需要证明两个 Riemann 和的差 $<\epsilon$，借助加细分割来连接两个分割，并通过振幅来描述分割 $P$ 与其加细分割的 Riemann 和的差距。

一些推论

• 若 $f\in C([a,b])$，则 $f\in\mathcal{R}[a,b]$。
• 若 $f$ 在 $[a,b]$ 除有限个间断点外 $f$ 连续，且 $f$ 有界，则 $f\in\mathcal{R}[a,b]$（用小区间控制间断点，上述条件控制连续的部分）
• $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ 单调函数，则 $f\in\mathcal{R}[a,b]$（考虑单调函数的振幅）

Darboux 和

设 $f:[a,b]\to\mathbb{R}$，$(P,\xi)$，$m_i=\inf_{x\in\Delta_i} f(x),M_i=\sup_{x\in\Delta_i}$，则：

$$\overline{S}(P)=\sum_{i=1}^n M_i\Delta x_i,\underline{S}(P)=\sum_{i=1}^n m_i\Delta x_i$$

称他们分别为分割 $P$ 的 Darboux 上和、Darboux 下和。

注：若 $P,P'$ 是 $[a,b]$ 的两个分割，则：

$$\underline S(f;P)\le\underline S(f;P\cup P')\le \overline S(f;P\cup P')\le \overline S(f;P')$$

“下和不减，上和不增”，从而有：$\{\underline S(f;P)\mid P\}$ 有上界，$\{\overline S(f;P)\mid P\}$ 有下界。

Darboux 上下积分

$$\begin{aligned} \underline I=\sup_P \underline S(f;P)\\ \overline I=\inf_P\overline S(f;P) \end{aligned}$$

分别称作 $f$ 的 Darboux 下积分，Darboux 上积分。

Darboux 定理

设 $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ 有界函数。

$$\underline I=\lim_{||P||\to 0} \underline S(f;P)$$

另一边同理。

证明：由 Darboux 下积分得到存在一个 $>\underline I-\epsilon$ 的分割 $P_0$，然后再用加细分割把其他分割和他接起来。

一个定理

$f:[a,b]\to\mathbb{R}$ 有界函数，则 $f\in \mathcal{R}[a,b]\Leftrightarrow \underline I=\overline I$。

$\Leftarrow$ 拼挤定理显然，$\Rightarrow$ 可以由积分的存在性证明 $\underline I>I-\epsilon$。

推论：

$$f\in\mathcal{R}[a,b]\Leftrightarrow \lim_{||P||\to 0}\sum_{i=1}^n \omega(f;\Delta_i)\Delta x_i=0$$

Lebesgue 定理

零测集

设 $E\subset \mathbb{R}$ 的集合，$\forall \epsilon>0$ 存在至多可数个开区间 $I_i,i\in\Lambda$，有：

$$E\subset\bigcup_{i\in\Lambda} I_i,\sum_{i\in\Lambda}|I_i|<\epsilon$$

则称 $E$ 为零测集。

注：至多可数个零测集的并是零测集（第 $i$ 个集合的长度是 $\dfrac{\epsilon}{2^i}$）

Lebesgue 定理

设 $f:[a,b]$ 上有界函数，则：$f\in\mathcal{R}[a,b]$ $\Leftrightarrow$ $f$ 几乎处处连续（间断点集合是一个零测集）

证明：

$\Leftarrow$：设间断点集合是 $D(f)$，则 $D(f)$ 是零测集。

用零测集的一个覆盖 + 其他部分的有限覆盖，借用 Lebesgue 数把小区间分成两边，零测集一侧用区间长度和 + 有界来限制，有限覆盖一侧用 Darboux 的理论来限制，得到全局满足 Darboux 的条件。

$\Rightarrow$：设 $D_\delta(f)=\{x\in[a,b]\mid \omega(f;x)\ge \delta\}$，则 $D(f)\subset \bigcup_{n=1}^\infty D_{1\over n}(f)$，

只要证明 $\forall\delta,D_\delta(f)$ 是零测集即可。存在分割 $P$ 满足：

$$\begin{aligned} \sum_{\omega(f;\Delta_i)\ge \delta} \Delta x_i & \le \dfrac{1}{\delta}\sum_{\omega(f;\Delta_i)\ge \delta} \omega(f;\Delta_i)\Delta x_i\\ & \le \dfrac{1}{\delta}\sum_{i=1}^n\omega(f;\Delta_i)\Delta x_i\\ & \color{red}{\le \epsilon} \end{aligned}$$

如果 $y\in D_\delta(f)$ 在 $\Delta_i$ 的端点，这样的 $y$ 只有有限个，不难处理。在某一个 $\Delta_i$ 中，则被以上部分给处理了，即 $D_\delta(f)$ 是零测集。$\square$

积分第二中值定理

设 $f,g\in\mathcal{R}[a,b]$，$g$ 在 $[a,b]$ 上单调，则 $\exists \xi\in[a,b]$，有：

$$\int_a^b f(x)g(x)dx=g(a)\int_a^\xi f(x)dx+g(b)\int_\xi^b f(x)dx$$

之前没证

一个特殊情形

如果 $f,g\in C^1[a,b]$，令 $F(x)=\int_a^x f(t) dt$，则 $g'(x)\ge 0$，有：

$$\begin{aligned} \int_a^b f(x)g(x)dx&=F(x)g(x)\bigg|_a^b-\int_a^bF(x)g'(x)dx\\ &=F(b)g(b)-F(\xi)\int_a^bg'(x)dx\\ &=F(b)g(b)-F(\xi)(g(b)-g(a))\\ &=g(a)\int_a^\xi f(x)dx+g(b)\int_\xi^bf(x)dx \end{aligned}$$

其中运用了积分第一中值定理。

普遍情形

不妨设 $g(x)$ 单调增，做变换 $G(x)=g(b)-g(x)$，则 $G(b)=0,G(x)\ge 0$ 且单调减。

设 $F(x)=\int_a^x f(t)dt$，要证：

$$\int_a^b f(x)G(x)dx=G(a)\int_a^\xi f(x)dx=G(a)F(\xi)$$

利用 $F(x)$ 的连续性、有界性，只要证明：

$$mG(a)\le \int_a^b f(x)G(x)dt\le MG(a)$$

（如果 $G(a)=0$ 就不用做了）

取一个分割 $P$：

$$\begin{aligned} \sum_{i=1}^n\int_{x_{i-1}}^{x_{i}} f(x)G(x)dx&=\sum_{i=1}^n G(x_{i-1})\int_{x_{i-1}}^{x_{i}} f(x)dx+\sum_{i=1}^n\int_{x_{i-1}}^{x_{i}}f(x)(G(x)-G(x_{i-1}))dx\\ &=\sum_{i=1}^nG(x_{i-1})(F(x_i)-F(x_{i-1}))+\sum_{i=1}^n\int_{x_{i-1}}^{x_{i}}f(x)(G(x)-G(x_{i-1}))dx \end{aligned}$$

第一项可以变为：

$$mG(a)=m(G(a)-G(b))\le\sum_{i=1}^nF(x_{i})(G(x_i)-G(x_{i+1}))\le M(G(a)-G(b))=MG(a)$$

第二项：

$$\sum_{i=1}^n\int_{x_{i-1}}^{x_{i}}f(x)(G(x)-G(x_{i-1}))\le \sup|f|\sum_{i=1}^n\omega(G;\Delta_i)\Delta x_i\to 0$$

“给 $G$ 取一个’近似值‘，然后证明余项趋近于 $0$”。

Riemann-Lebesgue 定理

设 $f\in\mathcal{R}[a,b]$，则：

$$\begin{aligned} \lim_{\lambda\to+\infty}\int_a^bf(x)\sin\lambda xdx=0\\ \lim_{\lambda\to+\infty}\int_a^bf(x)\cos\lambda xdx=0 \end{aligned}$$

“周期无限小的时候就全消掉了”
注：之前作业好像做过 $f\in C^1([a,b])$ 的版本。

证明：

类似上面的证明，取一个分割 $P$：

$$\begin{aligned} \sum_{i=1}^n \int_{x_{i-1}}^{x_i} f(x)\sin \lambda xdx &=\sum_{i=1}^n \int_{x_{i-1}}^{x_i} f(x_{i-1})\sin \lambda xdx+\sum_{i=1}^n \int_{x_{i-1}}^{x_i} (f(x)-f(x_i))\sin \lambda xdx \\ \end{aligned}$$

后面一项：

$$\sum_{i=1}^n \int_{x_{i-1}}^{x_i} (f(x)-f(x_i))\sin \lambda xdx\le \sum_{i=1}^n \int_{x_{i-1}}^{x_i} (f(x)-f(x_i))\le\sum_{i=1}^n\omega(f;\Delta_i)\Delta x_i\to 0$$

前面一项：

$$\begin{aligned} \sum_{i=1}^n\int_{x_{i-1}}^{x_i} f(x_{i-1})\sin \lambda xdx&=\sum_{i=1}^nf(x_{i-1})\dfrac{-(\cos \lambda x_i-\cos\lambda x_{i-1})}{\lambda}\to 0(\lambda\to+\infty) \end{aligned}$$

“对可积函数相关的证明，尝试构造出包含 Darboux 条件的放缩”

广义积分 / 反常积分

Cauchy 判别法

$f:[a,\omega)\to\mathbb{R}$ 在任意 $[a,b]\subset[a,\omega)$ 上可积，则 $\displaystyle\int_a^\omega f(x)dx$ 收敛 当且仅当：
$\forall \epsilon>0,\exists b\in[a,\omega)$ 使得 $\forall b_1,b_2\in(b,\omega)$，有：

$$\Bigg|\int_{b_1}^{b_2}f(x)dx\Bigg|<\epsilon$$

一个命题

对非负函数 $f$ 有 $\displaystyle\int_a^\omega f(x)dx$ 收敛 当且仅当：

$$F(x)=\int_a^x f(t)dt$$

有界。

推论：若 $f$ 是 $[1,+\infty)$ 上非负单调递减函数，则：

$$\sum_{i=1}^{+\infty} f(i),\quad\int_1^{+\infty} f(x)dx$$

同敛散。

比较判别法

注意针对的是非负函数。

Euler 积分

计算反常积分：

$$\begin{aligned} I&=\int_0^{\pi\over 2} \log\sin x\ dx\\ &=\dfrac{1}{2}\int_0^\pi\log\sin x\ dx\\ &=\dfrac{1}{2}\int_0^{\pi\over 2}\log\sin 2x\ d(2x)\\ &=\int_0^{\pi\over 2}\log 2+\int_0^{\pi\over 2}\log\sin x\ dx+\int_0^{\pi\over 2}\log\cos x\ dx\\ &=\int_0^{\pi\over 2}\log 2+2I \end{aligned}$$

从而：

$$I=\dfrac{\pi}{4}\log2$$

条件收敛 & 绝对收敛

$$\int_{\pi\over 2}^{+\infty} \dfrac{\sin x}{x}dx$$

是条件收敛的。分部积分证明自身收敛，而：

$$\int_{\pi\over 2}^{+\infty} \dfrac{|\sin x|}{x}dx\ge \int_{\pi\over 2}^{+\infty} \dfrac{\sin^2 x}{x}dx=\int_{\pi\over 2}^{+\infty} \dfrac{1-\cos 2x}{2x}dx$$

Abel 和 Dirichlet 判别法

设 $f,g:[a,\omega)\to\mathbb{R}$ 在任意 $[a,b]\subset[a,\omega)$ 上可积且 $g$ 在 $[a,\omega)$ 上单调（积分第二中值定理的要求？）。如果以下两个条件：

• Abel 判别法：$\displaystyle\int_a^\omega f(x)dx$ 收敛，$g$ 在 $[a,\omega)$ 上有界；
• Dirichlet 判别法：$F(x)=\displaystyle\int_a^x f(t)dt$ 在 $[a,\omega)$ 上有界，$\displaystyle\lim_{x\to \omega-}g(x)=0$。
  之一，则 $\displaystyle\int_a^\omega f(x)g(x)dx$ 收敛。

证明：用 Cauchy 判别法 + 积分第二中值定理拆开。

两个积分限都反常

要求从中间某点拆开后，两个反常积分都收敛，该积分才有定义。
（这提示我们，有时候拆开后只需要从简单的一个入手，证明其发散后，整个反常积分要么发散，要么没有定义）

例：$\displaystyle\int_0^{+\infty} \dfrac{\sin x}{x^\alpha} dx$ 当 $\alpha\in(0,2)$ 时收敛。
证明：

$$\begin{aligned} \int_0^{+\infty} \dfrac{\sin x}{x^\alpha} dx&=\int_0^{+\infty} \dfrac{\sin x}{x}\times\dfrac{1}{x^{\alpha-1}} dx\\ &=\int_0^{1} \dfrac{\sin x}{x}\times\dfrac{1}{x^{\alpha-1}} dx+\int_1^{+\infty} \dfrac{\sin x}{x^\alpha} dx \end{aligned}$$

当 $\alpha>0$，Dirichlet: $\displaystyle\int_1^{+\infty}\sin xdx$ 有界，$\dfrac{1}{x^\alpha}$ 单调趋于 $0$；
当 $a<2$，Abel: $\displaystyle\int_0^1\dfrac{1}{x^{\alpha-1}}dx$ 收敛，$\dfrac{\sin x}{x}$ 在 $(0,1]$ 上有界。

Beta 函数

$$B(p,q)=\int_0^1x^{p-1}(1-x)^{q-1}$$

当 $p>0,q>0$ 时有定义。

Gamma 函数

$$\Gamma(x)=\int_0^{+\infty} t^{x-1}e^{-t}dt$$

在瑕点 $\omega_1=0$ 附近，$t^{x-1}e^{-t}\sim t^{x-1}$，当 $x>0$ 时收敛；
当 $t$ 足够大，$t^{x-1}e^{-t}<t^{-2}$，收敛。

所以 $\Gamma(x)$ 的定义域是 $x>0$。

Cauchy 主值积分

反常函数的计算

Dirichlet 函数

$$I=\int_0^{+\infty} \dfrac{\sin x}{x}dx=\dfrac{\pi}{2}$$

Euler - Poisson 积分（Gauss 积分）

$$I=\int_0^{+\infty} e^{-x^2}dx=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}$$

Wallis 公式

$$\lim_{n\to +\infty}\Bigg(\dfrac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\Bigg)^2\dfrac{1}{2n+1}=\dfrac{\pi}{2}$$

Stirling 公式

$$n!\sim \sqrt{2\pi n}\Big(\dfrac{n}{e}\Big)^n,\ n\to+\infty$$

要用的一个引理

对 $[a,b]$ 上的凸函数，有：

$$f\Big(\dfrac{a+b}{2}\Big)\le\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx\le\dfrac{f(a)+f(b)}{2}$$

可以将 Stirling 公式改进为：

$$n!=\sqrt{2\pi n}\Big(\dfrac{n}{e}\Big)^ne^{\frac{\theta_n}{4n}},\ \theta_n\in(0,1)$$

Euler - Maclaurin 求和公式

一个引理

设 $f\in C^1[0,+\infty)$，则对 $\forall n\in \mathbb{N}$ 有：

$$\sum_{k=0}^n f(k)=\int_0^n f(x)dx+\dfrac{1}{2}(f(0)+f(n))+\int_0^n\Big(x-[x]-\dfrac{1}{2}\Big)f'(x)dx$$

捏吗，写了也记不住，就算记住了也不会证，就算会证了也不会考，差不多得了。